Représentation paramétrique et équations cartésiennes - Spécialité
Appartenance d’un point à une droite
Exercice 1 : Point appartenant à une droite paramétrique
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\) et la droite \( (d) \) qui a pour équation paramétrique :
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 4t \\ y & = & 5 -2t \\ z & = & -4 + 10t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(7;1;16\right)\) appartienne à \((d)\) ?
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 4t \\ y & = & 5 -2t \\ z & = & -4 + 10t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(7;1;16\right)\) appartienne à \((d)\) ?
Exercice 2 : Parmi les triplets de points suivants, lesquels sont des points alignés ?
Parmi les proposition suivantes, lesquelles sont vraies ?
- A. \( M\left(7;-6;-43\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 + 0t \\ y & = & -6 + 0t \\ z & = & 5 -12t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- B. \( M\left(-2;1;7\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 2 + 2t \\ y & = & -3 -2t \\ z & = & 3 -2t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- C. \( M\left(-55;-5;-43\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -7 + 12t \\ y & = & -5 + 0t \\ z & = & -3 + 10t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- D. \( M\left(53;-22;-42\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 -12t \\ y & = & -2 + 5t \\ z & = & -4 + 10t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
Exercice 3 : Point appartenant à une droite paramétrique
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\) et la droite \( (d) \) qui a pour équation paramétrique :
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 -10t \\ y & = & 2 + 5t \\ z & = & -3 + 8t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(34;-13;-27\right)\) appartienne à \((d)\) ?
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 -10t \\ y & = & 2 + 5t \\ z & = & -3 + 8t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(34;-13;-27\right)\) appartienne à \((d)\) ?
Exercice 4 : Parmi les triplets de points suivants, lesquels sont des points alignés ?
Parmi les proposition suivantes, lesquelles sont vraies ?
- A. \( M\left(32;21;15\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 6 -9t \\ y & = & 3 -6t \\ z & = & 6 -3t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- B. \( M\left(2;1;-5\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -6 + 7t \\ y & = & 4 -3t \\ z & = & -6 + 1t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- C. \( M\left(-15;11;7\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 -6t \\ y & = & -7 + 6t \\ z & = & -5 + 4t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- D. \( M\left(-5;-40;-61\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -5 + 0t \\ y & = & -5 + 7t \\ z & = & -6 + 11t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
Exercice 5 : Point appartenant à une droite paramétrique
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\) et la droite \( (d) \) qui a pour équation paramétrique :
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 6t \\ y & = & 1 + 2t \\ z & = & -2 + 5t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(14;7;13\right)\) appartienne à \((d)\) ?
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 6t \\ y & = & 1 + 2t \\ z & = & -2 + 5t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(14;7;13\right)\) appartienne à \((d)\) ?